엘릭시르제

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/19124문제 풀이정수론 설명은 정말 간단한 문제. ${}_{n}C_{k} \bmod 2^{32}$를 구하면 된다.$2^{32}$는 매우 큰 수이기도 하고, 합성수여서 뤼카 정리를 사용하기에도 빡세보인다. 먼저 가장 쉬운 판별을 해보자.${}_{n}C_{k} = 2^E \cdot U$로 나타낼 때 $E \geq 32$이면 나누어떨어지므로 $U$를 계산할 필요가 없어진다. 이 $E$를 구하는 방법이라면 Legendre's formula를 이용해도 좋고 어렵지 않다. 다만 $p = 2$의 경우에는 $\nu_{2}(n!) = n - s_2(n)$($n$을 이진수로 나타내었을 때 $1$의 개수)로도 나타낼 수 있으니, $\nu_{2}({}_{..

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/29537문제 풀이오일러 피 함수, 유클리드 호제법, 정수론 지문에서 간단하게 $\sum\limits_{d|n}{\sum\limits_{i = 1}^n{\mathrm{gcd}(d, i)}}$만 구하면 된다고 적혀져있다. 하지만 $n$은 $10^{12}$이므로 나이브하게 돌아가진 않을거니 식 정리를 해야한다. 먼저 시그마를 바꿔치기 해보자. $$ \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{d \mid n} \gcd(d, i) \right) $$이제 $\sum_{d \mid n} \gcd(d, i)$를 잘 변환하면 된다.우리는 약수 $d$를 고정하고 계산하는게 아니라 $i$를 고정하고 약수 $d$를 바꿔가며 푸는 것으로 바뀐다.그러..

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/8483문제 풀이유리 등차수열의 내림 합, 정수론 $Ax + By > C$를 만족하는 위치에 모든 마천루가 사라졌다는 것은 $ Ax + By ≤ C$를 만족하는 위치에는 마천루가 남아있다는 뜻이다. 그리고 $x ≥ 0$, $y ≥ 0$인 정수 ($x$, $y$) 쌍의 마천루의 개수를 묻는 문제이다. 일단 $y$에 대해 식을 정리하면 $y \leq \frac{C-Ax}{B}$이고, 정수 값이어야 하니 $y$의 범위는 $0$부터 $\lfloor \frac{C-Ax}{B} \rfloor$까지. 즉 $\lfloor \frac{C-Ax}{B} \rfloor + 1$개다. $x$도 마찬가지로 $y$가 $0$ 이상의 값을 가지려면, $C - Ax ..

문제 링크: https://www.acmicpc.net/problem/28383문제 풀이소인수분해, 정수론 네 제곱수의 합의 가짓수를 구하는 방법은 Jacobi's four-square theorem를 이용하면 된다.간략하게 설명하면 $r_4(n)$이 $n$의 네 제곱수의 합의 가짓수를 구하는 함수인데,$n$이 홀수라면 $8\sigma(n)$를 구하면 되고, $n$이 짝수라면 $ n = 2^{k}m$으로 나타낼 때, $24\sigma(m)$을 구하면 된다.당연하겠지만 $\sigma(n)$를 구하기 위해서 소인수분해가 들어간다. $n = p_1^{q_1}p_2^{q_2}p_3^{q_3}\cdots p_k^{q_k}$으로 나타내면 $\prod_{i=1}^k \frac{p_i^{q_i + 1} - 1}{p_i..