엘릭시르제

이게 무슨 의미냐면, 먼저 $1$부터 $N$까지의 합부터 생각해보자. $\sum\limits_{i=1}^{n} i$는 간단하게 $\frac{n(n+1)}{2}$로 쓸 수 있다. 그러면 이 값에 다시 시그마를 붙이면? $\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{i(i+1)}{2}$이 된다. 이 값은 무엇일까? 일단은 그냥 식 정리를 해보자. $\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} (i^{2}+i)$로 바꿔 쓸 수 있고,  $ \sum\limits_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $이므로 $\frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$가 된다.$\frac{n(n+1)(2n+1)}{..

한 줄 요약: $N \geq 3$부터 합성수다. $1$부터 $N$까지의 합은 간단하게 $S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$로 나타낼 수 있다. 합성수는 소수와 소수의 곱 혹은 소수와 합성수의 곱 혹은 합성수와 합성수의 곱이다. 1. $N$이 $1$이라면 $S(1) = 1$이므로 이는 소수도 아니고 합성수도 아니다.2. $N$이 $2$라면 $S(2) = \frac{2 \times 3}{2} = 1 \times 3$이므로 소수다.3. $N$이 $3$보다 크거나 같다면 $S(N) = \frac{N(N+1)}{2}$에서 $N$은 $3$보다 크거나 같고 $N+1$도 $4$보다 크거나 같다. 이는 둘 중에 하나가 짝수여서 $2$로 나누어떨어진다고 가정했을 때, $N = 2$와 같이 $1$이 되지 않는다. ..

한 줄 요약: $N$이 제곱수이거나 제곱수를 $2$로 나눈 값이라면 양의 약수의 합은 홀수고 아니라면 짝수다.($16(4^{2})$, $72(\frac{12^2}{2})$, $\cdots$ 등은 홀수, $19$, $34$, $\cdots$ 등은 짝수) $N$이 주어졌을 때 양의 약수의 합이 무엇이냐고 한다면, 직접 약수를 구해서 합을 더해 줄 수 있다. 그리고 그 값이 홀수인지 짝수인지 판단 해볼수 있다. 그렇다고 이 방식이 컴퓨터로 계산했을 때 $10^{18}$ 스케일 정도까지는 폴라드 로 알고리즘을 사용한다면 엄청 느리거나 하지 않는다. 하지만 우리는 $N$을 이렇게도 나타낼 수도 있다. $N = p_{1}^{q_{1}} p_{2}^{q_{2}} \cdots p_{n}^{q_{n}} $ (단, $p_..

1. 숫자 연결하기 (BOJ 1323)pigeonhole principle 언제 한번 순환소수 구할 때 나눗셈을 해본 적이 있다면 좋은 아이디어를 떠올릴 수 있다.1. 수를 계속 추가하면서(순환소수라면 0이었고, 이 문제에서는 N이다.) K로 나눠서 나머지를 알아낸다. 그후 그 나머지+N(여기선 문자열 연산이라 생각)을 다시 합쳐서 K로 나눈다.2. 계속 하다보면 언젠가 반복되었다.즉, 예제를 생각해보면 2%9=2 -> 22%9 -> 42%9 -> 62%9 -> ... 이런 식으로 계속 연산해준다. K로 나눈 나머지는 반드시 0~K-1이므로 비둘기집 원리에 따라 최대 K번 안에 반복된다. 같은 나머지가 나왔는데도 나머지가 0으로 안 나온다면 영원히 못 나누므로 -1을 출력하고 아니면 횟수를 출력하면 된다..